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平高球速度快却不出界的物理学解释

时间:2010-09-11 10:22:01 来源:中羽在线 作者:老青蛙

    我是羽球爱好者,刚知道中羽这么个地方。今天才注册了帐号,潜水一下午,看了很多好贴,受益匪浅。其中有一个帖子很有趣,内容大概是关于“为什么高手的平高球速度很快,但却不出界”。回帖也很有意思,有很多种分析,都很有道理。今天晚上吃完晚饭,心血来潮,我便计算了一下,得出了一个很有趣的结论,或许可以解释为什么初速度很快的球,却并不那么容易出界。
    过程如下:
    首先要做个假设,假设的目的是设计一个理想的环境,得到一个相对简单而清晰的模型,这样计算也方便,对模型的理解也更容易。
    假设球飞出去是水平的,并且两个球(高手的快速球和低手的慢速球两个球)距离地面高度相同。这样能够保证羽球在垂直方向上的速度矢量相等,继而保证两球从飞到落地的时间是相同的。若不水平,虽然计算方法相同,但会引入比较多的麻烦,不如这个理想模型看的清晰。
    我们还要明确一点,高手打出的球和低手打出的球,一旦飞离拍面,所唯一不同的只有速度。高手的快,低手的慢。
    计算开始:
    首先,理想状态下的球,受到风阻力公式如下:F=1/16(a*b*v方)。其中,a是飞行中的羽球的横截面积。b是风阻力系数,这个系数是个常数,通常与物体的形状、硬度等相关。v是瞬时速度。我们可以看到,阻力和速度的平方成正比。这个在数学里叫做什么来着,应该是叫做几何级数倍吧。也就是说,速度越快,所受到的阻力以几何倍数增加(发挥一下想象,这是个什么概念?)
    我们来计算一下初速度与飞行的距离的关系:
    m*(dv/dt)=-kv方。其中k为所有常数相加的阻力系数,并非前面提到的风阻力系数,因为是一串常数的乘积,且常数对于我们所需结果无益,我就暂且换个常数k来统一表述了。
    dv/dt=dv/dx*dx/dt=v*dv/dx
    通过变换可以得到dx=(-m/kv)dv
    两边积分可以得到距离相对于时间的函数S(t)=Blnv+c。其中B是前面一系列计算得出的一个常数,若详细表述比较复杂,用B表示,c是积分得出的一个常数量。
    其实计算到这里,我们已经不需要再继续计算下去了,通过上面得到的方程,我们可以看到,球击出的距离与初速度的对数成正比例!!
    那么我们随便代入一组数据来看看吧:初始时速200的球与初始时速100的球,飞行的距离相差多少!
    代入上述方程我们发现,初始时速100的球飞行的距离是初始时速200的球的0.87倍。我们惊奇的发现,速度相差一倍,但是飞出的距离却相差的并不多。或许,这就是为什么高手平高球速度快,但却并不出界的缘故了。高手的球快,是快在初始阶段,飞了一段距离,速度就急剧衰减。而恰恰是刚开始这一段距离的高速飞行,使得对方反应不及。只要在开始这段很短的时间里反映过来,球飞到后面,其实已经很慢了。我们在对方击出球的第一个瞬间作出反映,立刻移动到球的落点方向,就可以很从容的回击了。
    我们从上面的路程方程可以看出,如果速度降低到1以后,方程失效。想想也对,上面给出的风阻力方程是相对于速度较高的情况下的经验方程,而速度降低到很低的时候,这个风阻力的方程就不好用了。


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